Você pode processar o cabeleireiro, sim!

A lei determina que quem causa dano a alguém (através da prática de algum ato ou em virtude de omissão) pode ser responsabilizado. Ou seja, você pode, sim, processar o cabeleireiro. Para isso, deve se certificar de que ele tenha estragado ou de propósito ou por imprudência. Aí, então, poderá ingressar com uma ação de indenização por danos materiais (despesas que acarretou) 

e morais (sofrimento). Agora, atenção: caso o cabeleireiro em questão a tenha desaconselhado a fazer o procedimento que estragou os fios (e, mesmo assim, você tenha optado por fazê-lo), não haverá como responsabilizá-lo. É… Os profissionais, principalmente na área estética, devem ficar atentos se perceberem riscos nos pedidos dos clientes. Se a chance de dar errado for grande, é melhor se recusar a fazer – ou pedir que a cliente assine um termo de responsabilidade assumindo os riscos.